In this talk we will introduce histopolation, an approximation technique that replaces nodal evaluations with integral over compact sets or, equivalently, the corresponding averages. Despite being frequently employed in many applications, such as finite volumes and weights-based finite elements, the classical "uniform" approximation associated with histopolation is rather unexplored. In this seminar, we give an overview of the most impactful techniques in the one dimensional framework, introduce an appropriate Lebesgue constant, and analyze the conditioning of the resulting linear system, as well as efficient techniques for the resolution. We offer a parallelism with usual nodal interpolation and see where the two methods move away from each other. To conclude, possible applications are discussed.

Z Twierdzenia Garloffa-Wagnera wynika, że zbiór wielomianów stabilnych \(\mathcal{H}_n\), tj. takich, których wszystkie zera leżą w lewej otwartej półpłaszczyźnie zespolonej, z iloczynem Hadamarda*, tworzy półgrupę abelową zawartą w grupie abelowej wielomianów o dodatnich współczynnikach rzeczywistych \(\mathbb{R}_n^+\). Przez idealizator zbioru \(\mathcal{H}_n\) rozumieć będziemy największą podpółgrupę \(\mathbb{R}_n^+\), w której \(\mathcal{H}_n\) jest ideałem. W trakcie referatu zaprezentowane zostaną nowe wyniki stanowiące częściową charakterystykę tego idealizatora.

Referat na podstawie pracy A. Kroó "Optimal meshes for weighted multivariate polynomials in \(\mathbb{R}^{d}\)"

Dla tak zwanych 'guided polynomial sequences' przewodnikiem (po angielsku 'guide') z ich nazwy okazuje się być funkcja Greena dowolnego zbioru zwartego regularnego. Podane zostaną warunki równoważne warunku 'guided', przykłady takich ciągów i zastosowania w teorii zbiorów Julii.

Niech \(T=\{t_n,\, n\ge 1\}\) będzie ciągiem punktów z odcinka \([0,1]\), gęstym w \([0,1]\). Niech \(1<p<\infty\). Dla ciągu \(T\) rozważamy 2 słowniki: \(\mathcal{C}_T\), złożony z funkcji charakterystycznych odcinków powstających przez kolejne dorzucanie punktów \(\{t_n, n\ge 1\}\), oraz \(\mathcal{H}_T\), złożony z ogólnych funkcji Haara, odpowiadających ciągowi punktów \(T\). Rozważamy przestrzenie aproksymacyjne \(A_q^\alpha(L^p,\mathcal{C}_T)\) i \(A_q^\alpha(L^p,\mathcal{H}_T)\), zadane przez rzędy najlepszej \(n\)-wyrazowej aproksymacji w normie \(L^p[0,1]\), odpowiednio przez elementy słowników \(\mathcal{C}_T\) i \(\mathcal{H}_T\). Oczywiście zawsze \( A_q^\alpha(L^p,\mathcal{H}_T) \subset A_q^\alpha(L^p,\mathcal{C}_T). \) Z pracy P. Petrusheva “Multivariate \(n\)-term rational and piecewise polynomial approximation”, J. Approx. Theory 121 (2003), 158–197, wynika, że dla \(1<p<\infty\) oraz \(D\)—ciągu punktów diadycznych, zachodzi równość \( A_q^\alpha(L^p,\mathcal{H}_D) = A_q^\alpha(L^p,\mathcal{C}_D). \) Stawiamy pytanie, czy własność ta zachodzi dla dowolnego ciągu punktów \(T\). W referacie mam zamiar przedstawić:

• Nierówność typu Bernsteina \( BI(\mathcal{H}_T, \beta, p, \tau) \), od której zależy włożenie \( A_q^\alpha(L^p,\mathcal{C}_T) \subset A_q^\alpha(L^p,\mathcal{H}_T) \) dla \( \alpha < \beta \).
• Geometryczną charakteryzację nierówności Bernsteina \( BI(\mathcal{H}_T, \beta, p, \tau) \).
• Dalszą dyskusję przestrzeni \( A_q^\alpha(L^p,\mathcal{C}_T) \).

W ubiegłych latach, szeroko badane były różne nieliniowe metody aproksymacji. Jedną z takich metod jest aproksymacja zachłanna względem baz. W referacie planuję poruszyć następujące punkty:

• Bazy zachłanne (oraz pokrewne: prawie zachłanne, quasi-zachłanne) w przestrzeniach Banacha i ich podstawowe własności.
• Przestrzenie najlepszej n-wyrazowej aproksymacji dla baz zachłannych i ich charakteryzacja w terminach współczynników rozwinięcia bazowego.
• Istnienie/nieistnienie baz zachłannych (i pokrewnych) w konkretnych przestrzeniach funkcyjnych (\(L^p\), przestrzenie Sobolewa, Besova i Lizorkina Triebla), wraz z przykładami.

W trakcie referatu wskażę pewną klasę nieautonomicznych zbiorów Julii, które mają własność HCP (Hölder Continuity Property). Przedstawię dowód tej własności w szczególnym przypadku oraz wspomnę o możliwych uogólnieniach. Ponadto zaprezentuję szereg nietrywialnych przykładów nieautonomicznych zbiorów Julii.